初三上册数学课本

初三上册数学课本让很多的同学都比较头疼，因为中考将至，对于刚刚面临初三压力的同学而言。面对初三，是一件在心理上需要很大承受能力的事情。今天，小编就为大家分享初三上册数学课本中的一些解题方法，帮助大家更好地培养解题思维。

1.动态几何综合题解法——以不变应万变

例题一：操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以

DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF.

(1)你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.

(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，

猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?

(3)深入探究：

Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC，以DC为边在

BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系?并

证明你探究的结论.

Ⅱ.如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成

立?若不成立，是否有新的结论?并证明你得出的结论.

考点：全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质。

分析：

(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得

△BCD≌△ACF;然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD;

()通过证明BCD≌2ACF，即可证明AF=BD;

(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的对应边BD=AF;同理△BCF′≌△ACD

(SAS)，则BF′=AD，所以AF+BF′=AB;

Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;通过证明△BCF′≌△ACD(SAS)，则BF′=AD(全

等三角形的对应边相等);再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′.

解答：解：(1)AF=BD;

证明如下：∵△ABC是等边三角形(已知)，∴BC=AC，∠BCA=60°(等边三角形的性质);

同理知，DC=CF，∠DCF=60°;∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF;

在△BCD和△ACF中，BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=FC，∴△BCD≌△ACF(SAS)，

∴BD=AF(全等三角形的对应边相等);

(2)证明过程同()，证得BCD≌1ACF(SAS)，则AF=BD(全等三角形的对应边相等)，所以，

当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，AF=BD仍然成立;

(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;

证明如下：由()知，BCD≌1ACF(SAS)，则BD=AF;

同理△BCF′≌△ACD(SAS)，则BF′=AD，∴AF+BF′=BD+AD=AB.

Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;

证明如下：在△BCF′和△ACD中，BC=AC，∠BCF′=∠ACD，F′C=DC，

∴△BCF′≌△ACD(SAS)，∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等);

又由(2)知，AF=BD;∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′.

【点评】关于本题考查的知识点，很多同学都认为是等边三角形和全等三角形，这是浮于表面的，我

们需要看到是内在的知识点，而内在的东西就需要靠我们自己去总结去整理。经过细心分析你会发现，我

们可以把这道题归类为缩量变化问题，就是说，实际上在图形的变化过程中，并非是全等变形，而是在缩

放变形。因为条件的一致性，所以必然产生解题思想的一致性，所以，解决本题的关键是快速找到第一问

的解题思路。那么如何理解此题的“以不变应万变”呢?我们发现无论图形如何变化，等边△ABC始终发

生变化，只有D点始终在线段AB或者射线BA上运动，从而制造图形变化。根据缩量变化的原则，缩放

前后的图形做一个简单的对比，立即可以发现△CDF和△ABC之间的关系，第一问迎刃而解。进而根据

解题思想的一致性，下面的问题都可以借鉴第一问解出来。

注意：解决此类问题需要几个方面的能力：①对试题整体把控的能力。阅读完试题之后能够对试题进

行定位，从而快速找到解题思路。②空间想象能力。通过对题目的分析，在观察图形时要做到固定不变的

图形，映射变化的图形，找到变与不变的关系。③对旋转变化图形的观察分析能力。旋转图形都有旋转几

点或者叫中心，图形的旋转变化过程就可以产生图形的全等和相似问题。④最后要说的是注意这样一个问

题，如果题目给我们的是等边三角形，除了要考虑三条边相等之外，还要考虑60度角的作用;如果告诉

我们的是等腰直角三角形，除了要考虑等腰之外，还要考虑45度角的作用，多数同学会忽略这个问题。

初三上册数学课本的知识点是比较繁多的，但正所谓，工欲善其事，必先利其器。只要掌握了正确的解题方法，相信不论考题如何变化，我们的考生们都可以应付自如。小编也在此预祝各位考生考试顺利。